Estudo da Reta

O estudo da reta na geometria analítica não está relacionado apenas a escrita das equações das retas bem como a posição entre ponto e reta e entre duas retas. A equação da reta mais importante é a geral e quando um problema não diz que equação deseja então devemos escrever a equação geral: ax + by + c = 0, com a e b reais e não nulos simultaneamente e cujo coeficiente angular é dado por m = –a / b.

Um ponto está ou não em uma reta, caso esteja, dizemos que o ponto pertence a reta e isto é observado simplesmente substituindo as coordenadas do ponto na equação da reta, se com a substituição a igualdade ficar verdadeira então o ponto pertence, caso contrário, o ponto não pertence.

Equações da Reta

Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta y = mx + k, onde m é o coeficiente angular da reta e k uma constante real qualquer. A equação y – y_o = m (x – x_o) onde (x_o,y_o) é um ponto conhecido e m é o coeficiente angular da reta, é chamada equação fundamental da reta e a equação segmentaria: x / p + y / q = 1, onde p e q são os valores onde a reta intercepta os respectivos eixos x e y.

Posição Relativa entre duas Retas

Se duas retas são paralelas seus coeficientes angulares são iguais, isto é, se r // s então m_r = m_s, caso contrário, as retas são ditas concorrentes, isto é, r × s; e duas retas concorrentes em especial são ditas perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for igual a –1, ou seja, se r ^ s então, m_r . m_s = –1.

Exercícios Resolvidos

— Escreva a equação da reta r que passa pelo ponto A(1,2) e tem coeficiente angular m = 2/3.

Como conhecemos um ponto e o coeficiente angular escrevemos a equação fundamental da reta, isto é, y – 2 = 2/3 (x – 1) e a partir dela escrevemos a equação geral, 3y – 6 = 2(x – 1) ou 3y – 6 = 2x – 2 daí, a reta pedida é r: 2x – 3y + 4 = 0.

— Encontre a distância entre as retas r: 3x – 4y + 2 = 0 e s: 6x – 8y = 3.

Encontrando os coeficientes angulares das retas r e s, m_r = –3/–4 = 3/4 e m_s = –6/–8 = 3/4 e portanto, r // s (r e s são paralelas). Para encontrar a distância entre as duas retas, obtemos um ponto em uma delas e calculamos a distância desse ponto para a outra reta. Assim, considerando na reta r, por exemplo, x = 2 temos 3.2 – 4y + 2 = 0 ou 8 = 4y ou y = 2. Então, o ponto (2,2) está na reta r daí, usando a fórmula da distância entre ponto e reta:

d_Pr = , daí, d_Ps = 7/10.

— Encontre o ponto de intersecção entre as retas r: x + y – 2 = 0 e s: x – y – 4 = 0.

O ponto de encontro ou de intersecção entre duas retas é o ponto comum, isto é, o ponto que pertence as duas retas, basta resolver o sistema formado pelas duas equações que encontramos esse ponto. Assim, por exemplo, resolvendo por comparação temos y = 2 – x, na primeira e, y = x – 4, na segunda. Daí, 2 – x = x – 4 ou 6 = 2x ou x = 3 e como y = x – 4, então, y = –1. Logo, o ponto (3,–1) é o ponto de encontro.

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